Selasa, 03 November 2009

BAB 2 hukum gravitasi newton

Gravitasi adalah gaya tarik-menarik yang terjadi antara semua partikel yang mempunyai massa di alam semesta.

Hukum gravitasi universal Newton dirumuskan sebagai berikut:

Setiap massa titik menarik semua massa titik lainnya dengan gaya segaris dengan garis yang menghubungkan kedua titik. Besar gaya tersebut berbanding lurus dengan perkalian kedua massa tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua massa titik tersebut.

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

F adalah besar dari gaya gravitasi antara kedua massa titik tersebut

G adalah konstanta gravitasi

m1 adalah besar massa titik pertama

m2 adalah besar massa titik kedua

r adalah jarak antara kedua massa titik

Dalam sistem Internasional, F diukur dalam newton (N), m1 dan m2 dalam kilograms (kg), r dalam meter (m), dsn konstanta G kira-kira sama dengan 6,67 × 10−11 N m2 kg−2.

Dari persamaan ini dapat diturunkan persamaan untuk menghitung Berat. Berat suatu benda adalah hasil kali massa benda tersebut dengan percepatan gravitasi bumi. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: W = mg. W adalah gaya berat benda tersebut, m adalah massa dan g adalah percepatan gravitasi. Percepatan gravitasi ini berbeda-beda dari satu tempat ke tempat lain.

Medan gravitasi adalah medan yang menyebabkan suatu benda bermassa mengalami gaya gravitasi. Medan ini dibangkitkan oleh suatu benda bermassa. Didefinisikan secara rumus matematis sebagai besar gaya tarik dibagi massa benda.

Rumus medan gravitasi

Bila terdapat suatu obyek bermassa \!m_ipada posisi \!\vec{r}_imaka medan gravitasi yang disebabkan oleh obyek tersebut di titik \!\vec{r}dirumuskan sebagai
\vec{g}_i(\vec{r}) = -G \frac{m_i}{ \left| \vec{r} - \vec{r}_i \right|^3} (\vec{r} - \vec{r}_i)

dengan:

  • \!G: adalah konstanta univeral gravitasi Newton.
  • m_i\!: adalah massa penyebab medan gravitasi.
  • \vec{r}_i: adalah posisi massa ke-i.
  • \vec{r}: adalah posisi tempat medan gravitasi dihitung.

Perhatikan bahwa tidak seperti dalam hal rumusan medan listrik, di mana muatan dapat berharga positif atau negatif, dalam hal medan gravitasi massa selalu berharga positif, sehingga medannya selalu menuju atau mengarah ke titik pusat penghasil medannya. Dengan kata lain apabila di dalam lingkungan medan gravitasi ditempatkan obyek bermassa, maka obyek tersebut akan mengalami gaya gravitasi yang arahnya menuju penyebab medan gravitasi. Dengan demikian dapat dimengerti mengapa gaya gravitasi selalu bersifat tarik-menarik.

Percepatan gravitasi

Dalam beberapa kasus, massa penyebab gravitasi sedemikian besarnya, sehingga medan gravitasi dapat dianggap tetap, walaupun titik pengamatan diubah. Untuk kasus ini lebih lazim jika ditetapkan suatu percepatan gravitasi, yang berupa suatu konstanta.

Hukum Gerakan Planet Kepler

Hukum Pertama

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Ellipse_Kepler_Loi1.svg/180px-Ellipse_Kepler_Loi1.svg.png

http://id.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

Figure 2: Hukum Kepler pertama menempatkan Matahari di satu titik fokus edaran elips.

"Setiap planet bergerak dengan lintasan elips, matahari berada di salah satu fokusnya."

Pada zaman Kepler, klaim diatas adalah radikal. Kepercayaan yang berlaku (terutama yang berbasis teori epicycle) adalah bahwa orbit harus didasari lingkaran sempurna. Pengamatan ini sangat penting pada saat itu karena mendukung pandangan alam semesta menurut Kopernikus. Ini tidak berarti ia kehilangan relevansi dalam konteks yang lebih modern.

Meski secara teknis elips yang tidak sama dengan lingkaran, tetapi sebagian besar planet planet mengikuti orbit yang bereksentrisitas rendah, jadi secara kasar bisa dibilang mengaproximasi lingkaran. Jadi, kalau ditilik dari observasi jalan edaran planet, tidak jelas kalau orbit sebuah planet adalah elips. Namun, dari bukti perhitungan Kepler, orbit orbit itu adalah elips, yang juga memeperbolehkan benda-benda angkasa yang jauh dari matahari untuk memiliki orbit elips. Benda-benda angkasa ini tentunya sudah banyak dicatat oleh ahli astronomi, seperti komet dan asteroid. Sebagai contoh Pluto, yang diobservasi pada akhir tahun 1930, terutama terlambat diketemukan karena bentuk orbitnya yang sangat elipse dan kecil ukurannya.

Hukum Kedua

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Ellipse_Kepler_Loi2.svg/180px-Ellipse_Kepler_Loi2.svg.png

http://id.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

Figure 3: Illustrasi hukum Kepler kedua. Bahwa Planet bergerak lebih cepat didekat matahari dan lambat dijarak yang jauh. Sehingga jumlah area adalah sama pada jangka waktu tertentu.

"Luas daerah yang disapu pada selang waktu yang sama akan selalu sama."

Secara matematis:

\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}r^2 \dot\theta) = 0

dimana \frac{1}{2}r^2 \dot\thetaadalah "areal velocity".

Hukum Ketiga

Planet yang terletak jauh dari matahari memiliki perioda orbit yang lebih panjang dari planet yang dekat letaknya. Hukum Kepelr ketiga menjabarkan hal tersebut secara kuantitativ.

"Perioda kuadrat suatu planet berbanding dengan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari matahari."

Secara matematis:

 {P^2} \propto  {a^3}

dimana P adalah period orbit planet dan a adalah axis semimajor orbitnya.

Konstant proporsionalitasnya adalah semua sama untuk planet yang mengedar matahari.

\frac{P_{\rm planet}^2}{a_{\rm planet}^3} = \frac{P_{\rm earth}^2}{a_{\rm earth}^3}.


BAB 1 Kinematika dan analisis dengan vektor

KINEMATIKA adalah Ilmu gerak yang membicarakan gerak suatu benda tanpa memandang gaya yang bekerja pada benda tersebut (massa benda diabaikan). Jadi jarak yang ditempuh benda selama geraknya hanya ditentukan oleh kecepatan v dan atau percepatan a.

GLB
Gerak Lurus Beraturan (GLB) adalah gerak lurus pada arah mendatar dengan kocepatan v tetap (percepatan a = 0), sehingga jarakyang ditempuh S hanya ditentukan oleh kecepatan yang tetap dalam waktu tertentu.

Pada umumaya GLB didasari oleh Hukum Newton I ( S F = 0 ).

S = X = v . t ;

a = Dv/Dt = dv/dt = 0

v = DS/Dt = ds/dt = tetap

Tanda D (selisih) menyatakan nilai rata-rata.

Tanda d (diferensial) menyatakan nilai sesaat.

GLBB

Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) adalah gerak lurus pada arah mendatar dengan kecepatan v yang berubah setiap saat karena adanya percepatan yang tetap. Dengan kata lain benda yang melakukan gerak dari keadaan diam atau mulai dengan kecepatan awal akan berubah kecepatannya karena ada percepatan (a= +) atau perlambatan (a= -).

Pada umumnya GLBB didasari oleh Hukum Newton II ( S F = m . a ).

vt = v0 + a.t

vt2 = v02 + 2 a S

S = v0 t + 1/2 a t2

vt = kecepatan sesaat benda
v0 = kecepatan awal benda
S = jarak yang ditempuh benda
f(t) = fungsi dari waktu t

v = ds/dt = f (t)

a = dv/dt = tetap

Syarat : Jika dua benda bergerak dan saling bertemu maka jarak yang ditempuh kedua benda adalah sama.

GRAFIK GLB-GLBB

Grafik gerak benda (GLB dan GLBB) pada umumnya terbagi dua, yaitu S-t dan grafik v-t.

Pemahaman grafik ini penting untuk memudahkan penyelesaian soal.

Khusus untuk grafik v-t maka jarak yang ditempuh benda dapat dihitung dengan cara menghitung luas dibawah kurva grafik tersebut.

GERAK JATUH BEBAS:

y = h = 1/2 gt2


t = Ö(2 h/g)


yt = g t =
Ö(2 g h)

adalah gerak jatuh benda pada arah vertikal dari ketinggian h tertentu tanpa kecepatan awal (v0 = 0), jadi gerak benda hanya dipengaruhi oleh gravitasi bumi g.

g = percepatan gravitasi bumi.
y = h = lintasan yang ditempuh benda pada arah vertikal,(diukur dari posisi benda mula-mula).
t = waktu yang dibutuhkan benda untuk menempuh lintasannya.

GERAK VERTIKAL KE ATAS:

adalah gerak benda yang dilempar dengan suatu kecepatan awal v0 pada arah vertikal, sehingga a = -g (melawan arah gravitasi).

syarat suatu benda mencapai tinggi maksimum (h maks): Vt = 0

Dalam penyelesaian soal gerak vertikal keatas, lebih mudah diselesaikan dengan menganggap posisi di tanah adalah untuk Y = 0.

Contoh:

1. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-X dengan persamaan lintasannya: X = 5t2 + 1, dengan X dalam meter dan t dalam detik. Tentukan:

a. Kecepatan rata-rata antara t = 2 detik dan t = 3 detik.
b. Kecepatan pada saat t = 2 detik.
c. Jarak yang ditempah dalam 10 detik.
d. Percepatan rata-rata antara t = 2 detik dan t = 3 detik.

Jawab:

a. v rata-rata = DX / Dt = (X3 – X2) / (t3 – t2) = [(5 . 9 + 1) - (5 . 4 + 1)] / [3 - 2] = 46 – 21 = 25 m/ detik

b. v2 = dx/dt |t=2 = 10 |t=2 = 20 m/detik.

c. X10 = ( 5 . 100 + 1 ) = 501 m ; X0 = 1 m

Jarak yang ditempuh dalam 10 detik = X10 – X0 = 501 – 1 = 500 m

d. a rata-rata = Dv / Dt = (v3- v2)/(t3 – t2) = (10 . 3 – 10 . 2)/(3 – 2) = 10 m/det2

2. Jarak PQ = 144 m. Benda B bergerak dari titik Q ke P dengan percepatan 2 m/s2 dan kecepatan awal 10 m/s. Benda A bergerak 2 detik kemudian dari titik P ke Q dengan percepatan 6 m/s2 tanpa kecepatan awal. Benda A dan B akan bertemu pada jarak berapa ?

Jawab:

Karena benda A bergerak 2 detik kemudian setelah benda B maka tB = tA + 2.

SA = v0.tA + 1/2 a.tA2 = 0 + 3 tA2
SB = v0.tB + 1/2 a.tB2 = 10 (tA + 2) + (tA + 2)2

Misalkan kedua benda bertemu di titik R maka
SA + SB = PQ = 144 m
3tA2 + 10 (tA + 2) + (tA + 2)2 = 144
2tA2 + 7tA – 60 = 0

Jadi kedua benda akan bertemu pada jarak SA = 3tA2 = 48 m (dari titik P).

3. Grafik di bawah menghubungkan kocepatan V dan waktu t dari dua mobil A dan B, pada lintasan dan arah sama. Jika tg a = 0.5 m/det, hitunglah:
a. Waktu yang dibutuhkan pada saat kecepatan kedua mobil sama.
b. Jarak yang ditempuh pada waktu menyusul

Jawab:

Dari grafik terlihat jenis gerak benda A dan B adalah GLBB dengan V0(A) = 30 m/det dan V0(B) = 0.

a. Percepatan kedua benda dapat dihitung dari gradien garisnya,

jadi : aA = tg a = 0.5
10/t = 0.5 ® t = 20 det

aB = tg b = 40/20 = 2 m/det

b. Jarak yang ditempuh benda

SA = V0 t + 1/2 at2 = 30t + 1/4t2

SB = V0 t + 1/2 at2 = 0 + t2

pada saat menyusul/bertemu : SA = SB ® 30t + 1/4 t2 = t2 ® t = 40 det

Jadi jarak yang ditempuh pada saat menyusul : SA = SB = 1/2 . 2 . 402 = 1600 meter

GERAK PARABOLA

Gerak ini terdiri dari dua jenis, yaitu:

1. Gerak Setengah Parabola

Benda yang dilempar mendatar dari suatu ketinggian tertentu dianggap tersusun atas dua macam gerak, yaitu :

a. Gerak pada arah sumbu X (GLB)

vx = v0
Sx = X = vx t

Gbr. Gerak Setengah Parabola

b. Gerak pada arah sumbu Y (GJB/GLBB)

vy = 0
]® Jatuh bebas
y = 1/2 g t2

2. Gerak Parabola/Peluru

Benda yang dilempar ke atas dengan sudut tertentu, juga tersusun atas dua macam gerak dimana lintasan
dan kecepatan benda harus diuraikan pada arah X dan Y.

a. Arah sb-X (GLB)

v0x = v0 cos q (tetap)
X = v0x t = v0 cos q.t


Gbr. Gerak Parabola/Peluru

b. Arah sb-Y (GLBB)

v0y = v0 sin q
Y = voy t – 1/2 g t2
= v0 sin q . t – 1/2 g t2
vy = v0 sin q – g t

Syarat mencapai titik P (titik tertinggi): vy = 0

top = v0 sin q / g

sehingga

top = tpq
toq = 2 top

OQ = v0x tQ = V02 sin 2q / g

h max = v oy tp – 1/2 gtp2 = V02 sin2 q / 2g

vt = Ö (vx)2 + (vy)2

Contoh:

1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat terbang yang sedang melaju horisontal 720 km/jam dari ketinggian 490 meter. Hitunglah jarak jatuhnya benda pada arah horisontal ! (g = 9.8 m/det2).

Jawab:

vx = 720 km/jam = 200 m/det.
h = 1/2 gt2 ® 490 = 1/2 . 9.8 . t2
t = 100 = 10 detik
X = vx . t = 200.10 = 2000 meter

2. Peluru A dan peluru B ditembakkan dari senapan yang sama dengan sudut elevasi yang berbeda; peluru A dengan 30o dan peluru B dengan sudut 60o. Berapakah perbandingan tinggi maksimum yang dicapai peluru A dan peluru B?

Jawab:

Peluru A:

hA = V02 sin2 30o / 2g = V02 1/4 /2g = V02 / 8g

Peluru B:

hB = V02 sin2 60o / 2g = V02 3/4 /2g = 3 V02 / 8g

hA = hB = V02/8g : 3 V02 / 8g = 1 : 3

MODUL FISIKA

MATERI : GERAK MELINGKAR

KELAS /SM : X / I

Gerak melingkar terbagi dua, yaitu:

1. GERAK MELINGKAR BERATURAN (GMB)

GMB adalah gerak melingkar dengan kecepatan sudut (w) tetap.


Arah kecepatan linier v selalu menyinggung lintasan, jadi sama dengan arah kecepatan tangensial sedanghan besar kecepatan v selalu tetap (karena w tetap). Akibatnya ada percepatan radial ar yang besarnya tetap tetapi arahnya berubah-ubah. ar disebut juga percepatan sentripetal/sentrifugal yang selalu | v.

v = 2pR/T = w R

ar = v2/R = w2 R

s = q R

2. GERAK MELINGKAR BERUBAH BERATURAN (GMBB)

GMBB adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut a tetap.

Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial aT = percepatan linier, merupakan percepatan yang arahnya menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan v).

a = Dw/Dt = aT / R

aT = dv/dt = a R

T = perioda (detik)
R = jarijari lingkaran.
a = percepatan angular/sudut (rad/det2)
aT = percepatan tangensial (m/det2)
w = kecepatan angular/sudut (rad/det)
q = besar sudut (radian)
S = panjang busur

Hubungan besaran linier dengan besaran angular:

vt = v0 + a t wt
S = v0 t + 1/2 a t2
Þ w0 + a t
Þ q = w0 + 1/2 a t2

Contoh:

1. Sebuah mobil bergerak pada jalan yang melengkung dengan jari-jari 50 m. Persamaan gerak mobil untuk S dalam meter dan t dalam detik ialah:

S = 10+ 10t – 1/2 t2

Hitunglah:
Kecepatan mobil, percepatan sentripetal dan percepatan tangensial pada saat t = 5 detik !

Jawab:

v = dS/dt = 10 – t; pada t = 5 detik, v5 = (10 – 5) = 5 m/det.
- percepatan sentripetal : aR = v52/R = 52/50 = 25/50 = 1/2 m/det2
- percepatan tangensial : aT = dv/dt = -1 m/det2